On the Number of Partitions of an Integer in the m-bonacci Base

— For each m > 2, we consider the m-bonacci numbers defined by Fk = 2 k for 0 6 k 6 m− 1 and Fk = Fk−1 +Fk−2 + · · ·+Fk−m for k > m. When m = 2, these are the usual Fibonacci numbers. Every positive integer n may be expressed as a sum of distinct m-bonacci numbers in one or more different ways. Let Rm(n) be the number of partitions of n as a sum of distinct m-bonacci numbers. Using a theorem of Fine and Wilf, we obtain a formula for Rm(n) involving sums of binomial coefficients modulo 2. In addition we show that this formula may be used to determine the number of partitions of n in more general numeration systems including generalized Ostrowski number systems in connection with Episturmian words. Résumé. — Pour m > 2, on définit les nombres de m-bonacci Fk = 2k pour 0 6 k 6 m− 1 et Fk = Fk−1 +Fk−2 + · · ·+Fk−m pour k > m. Dans le cas m = 2, on retrouve les nombres de Fibonacci. Chaque entier positif n s’écrit comme une somme distincte de nombres de m-bonacci d’une ou plusieurs façons. Soit Rm(n) le nombre de partitions de n en base m-bonacci. En utilisant un théorème de Fine et Wilf on déduit une formule pour Rm(n) comme somme de coefficients binomiaux modulo 2. De plus, nous montrons que cette formule peut-être utilisée pour déterminer le nombre de partitions de n dans des systèmes généraux de numération incluant les systèmes de nombres d’Ostrowski généralisés associés aux suites episturmiennes.